Die Berechnung von historischen Aktienrenditen kann diskret oder stetig erfolgen.[1] Bei der Berechnung diskreter Renditen  für eine Aktie  im Portfolio wird der Kurs zu Beginn des gesamten betrachteten Zeitraums  mit dem Kurs der Aktie  am Ende des betrachteten Zeitraumes  entsprechend folgender Gleichung berechnet:

Bei der diskreten Rendite  wird der gesamte Zeitraum als Eins betrachtet und die errechnete Rendite stellt somit auch den Ertrag über den gesamten Betrachteten Zeitraum  dar. Zur Vergleichbarkeit müssen diskrete Renditen unterschiedlicher Aktien auf den gleichen Zeitraum bezogen werden. Die Annualisierung diskreter Renditen erfolgt über das geometrische Mittel nach

wobei  die annualisiterte diskrete Rendite über  Jahre darstellt. Die diskrete annualisierte Rendite des gesamten Portfolios , auch geometrische Rendite genannt, errechnet sich additiv aus den Produkten des Gewichtes  der Aktie  im Portfolio und der diskreten annualisierten Rendite der Aktie .[2]

Durch diese einfache Additivität auf Portfolioebene werden diskrete Renditen in der Praxis und im Folgenden für die Erstellung eines Maximum-Ertrag-Portfolios verwendet.[3]

Stetige Renditen werden als Summe aller Teilzeiträume berechnet. Hierbei wird die betrachtete Periodenlänge, unter Annahme der Log-Normalverteilung von Aktienpreisen, auf möglichst kleine Zeiträume verkürzt, um einen diskreten Prozess zu einem zeitstetigen Wiener Prozess zu verändern.[4] Somit wird die stetige Rendite einer Aktie  als

errechnet. [5] Die Annualisierung stetiger Renditen erfolgt durch das Teilen der stetigen Rendite durch die Anzahl der Jahre, in denen die Teilrenditen gemessen wurden, da stetige Renditen zeitadditiv sind.[6]

wobei

 für die Anzahl der Jahre steht.[7]

Zur Feststellung der erwarteten Rendite des gesamten Portfolios müssen stetigen Renditen, zur Gewährleistung der Portfolioadditivität, in diskrete Renditen umgewandelt werden.[8] Die annualisierte Rendite des gesamten Portfolios  aus stetigen Einzelrenditen ergibt sich demnach aus

wobei die stetigen Renditen der einzelnen Aktien  zuerst in die diskreten Renditen selbiger  gemäß folgender Formel umgerechnet werden müssen.[9]

In folgenden Optimierungsproblemen finden sowohl diskrete Renditen zur Berechnung der Portfoliorendite als auch stetige Renditen zur Berechnung der Volatilität Anwendung.


[1] Vgl. hierzu ausführlich Ernst, D./Schurer, M. (2015), S. 68-78.

[2] Vgl. Ernst, D./Schurer, M. (2015), S. 76-78.

[3] Vgl. Ernst, D./Schurer, M. (2015), S. 68-70.

[4] Vgl. Hull, J. (2018), S. 300-313.

[5] Vgl. Ernst, D./Schurer, M. (2015), S. 72.

[6] Vgl. Ernst, D./Schurer, M. (2015), S. 73.

[7] Unter Annahme von 250 Handelstagen pro Jahr.

[8] Vgl. Ernst, D./Schurer, M. (2015), S. 73.

[9] Vgl. Ernst, D./Schurer, M. (2015), S. 72-73.